Przykłady równań różniczkowych wykorzystywanych w naukach przyrodniczych

Przykład 1:

Model maltuzjański. W biologii ważnym problemem jest określenie dynamiki populacji bakterii.
Otóż: niech $ P(t)\ge 0 $ oznacza liczebność populacji w chwili czasu $ t $. W sytuacji, gdy zasoby pokarmowe są nieograniczone, liczebność populacji w chwili $ t+\Delta t $ w dobrym przybliżeniu opisuje wzór

(1)

$ P(t+\Delta t)= P(t)+ k\,P(t)\,\Delta\,t, $

gdzie $ k $ jest stałą. Równość tę można przedstawić w postaci

$ \frac{{}P(t+{}\Delta t) - {}P(t)}{{}\Delta t}= kP(t). $

Dokonując w powyższym równaniu przejścia granicznego

$ \lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{{}P(t+{}\Delta t) - {}P(t)}{{}\Delta t}=\frac{d{}P(t)}{dt}, $

otrzymujemy równanie różniczkowe

(2)

$ \frac{d{}P(t)}{dt}=kP(t), $

zwane modelem maltuzjańskim dynamiki populacji. Równanie to można przedstawić w postaci równości różniczek

$ \frac{d{}P}{{}P}=d\left( \log|P| \right)=k\,d\,t=d\left( k\,t \right). $

dla $ P \neq 0. $ Całkując wyrażenie $ d\left( \log(P) \right)= d\left( k\,t \right) $

(ponownie wykorzystujemy to iż równość różniczek implikuje ¹ równość odpowiednich całek), otrzymamy równość

$ \log {|P|}= k\,t + {\tilde C}, $

gdzie $ \tilde C\,\in\,R\, $. Kładąc $ \tilde C=\log{C},\,\,\, C>0 $ mamy

(3)

$ P=C\,e^{k\,t}. $

Jednakże $ P=0 $ spełnia równanie ( 3 ), więc spełnia równanie ( 2 ) przy dowolnej stałej $ C\,\in\,R.\, $
Faktycznie uzyskaliśmy nieskończenie wiele rozwiązań naszego problemu. Są one wyznaczone poprzez dobór dowolnej stałej $ C $ (zgodnie z sensem biologicznym rozwiązania, $ C\geq 0 $). Całość rozwiązań można przedstawić na płaszczyźnie ( $ t,\,x $), zwanej płaszczyzną fazową (zob. Rys. 1 ). W jaki sposób można interpretować wzór ( 3 )? Ewolucja populacji będzie zależeć od tego, jaka była liczebność populacji w chwili początkowej $ t_0 $.

Zadając wielkość $ P(t_0)=P_0 $ pozbywamy się niejednoznaczności, gdyż wykorzystując warunek

$ P(t_0)=P_0=C\,e^{k\,t_0}, $

otrzymamy wzór

(4)

$ P(t)={P_0}\,e^{k(t-t_0)}, $

który już jednoznacznie określa ewolucję takiej populacji, która w chwili $ \,t_0\, $ liczyła $ \,P_0\, $ bakterii
²

$Graficzna reprezentacja zbioru rozwiązań równania (2), odpowiadających różnym wartościom parametru {OPENAGHMATHJAX()}C\geq\,0{OPENAGHMATHJAX}, na płaszczyźnie fazowej {OPENAGHMATHJAX()}(t,\,x){OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Graficzna reprezentacja zbioru rozwiązań równania (2), odpowiadających różnym wartościom parametru $ C\geq\,0 $, na płaszczyźnie fazowej $ (t,\,x) $

Przykład 2:

Dynamika punktu materialnego. Innym prostym przykładem jest równanie dynamiki punktu materialnego o masie $ m $. Drugie prawo Newtona daje następujący znany związek pomiędzy masą $ m $, siłą $ \vec F $ a przyspieszeniem $ \vec a $:

$ m\,\vec a=\vec F. $

W przypadku jednowymiarowym wszystkie trzy wielkości są wielkościami skalarnymi. Oznaczamy je wówczas przez $ m,\,F,\,a. $

Jeżeli założymy że $ F=0, $ to dostaniemy, po podzieleniu przez $ m\neq\,0 $, równanie

$ a=0 $. Jak wiadomo, przyspieszenie określa szybkość zmiany prędkości $ v $ punktu materialnego

w chwili $ t $, a jego precyzyjna definicja jest następująca:

(5)

$ a(t)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\frac{d\,v(t)}{d\,t}=v'(t). $

Z kolei, prędkość $ v(t) $ określa się jako szybkość zmiany położenia przestrzennego $ x(t) $

punktu materialnego:

$ v(t)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{d\,x(t)}{d\,t}=x'(t). $

Daje to zatem równanie

$ a=\frac{d}{d\,t}v(t)=\frac{d}{d\,t}\,\frac{d\,x(t)}{d\,t}=\frac{d^2\,x(t)}{d\,t^2}=0, $

czyli $ \frac{d^2x}{dt^2}=0. $ Mamy więc w tym przypadku do czynienia z równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego. Równanie to całkuje się w dwóch krokach. Pierwszym krokiem jest całkowanie równania $ \frac{d\,v(t)}{d\,t}=0 $, które jest równoważne
równaniu $ d\,v=0*d\,t=0 $. Całkując je otrzymamy

(6)

$ v(t)=\frac {d\,x(t)} {d\,t}=C_1, $

gdzie $ C_1 $ jest dowolną stałą całkowania.
Na drugim kroku wykorzystujemy to że z ( 6 ), wynika równość różniczek $ d\,x=d\,(C_1\,t) $,

która z kolei implikuje równość całek

$ \int{d\,x}=x=\int{d\,(C_1\,t)}=C_0+C_1\,t, $

gdzie $ C_0,\,\,C_1 $ są dowolnymi stałymi. Zatem ruch jednowymiarowy punktu materialnego w przypadku braku sił

( $ F=0 $) określa się wzorem

(7)

$ x(t)=C_0+C_1\,t, $

$ C_0,\,C_1\,\in\,R. $

Ważnym wnioskiem wynikającym z powyższego przykładu jest, że przy znajdowaniu rozwiązania równania $ d\,^2\,x(t)/d\,t^2=0 $,

które jest najprostszym skalarnym równania różniczkowego zwyczajnego rzędu 2, musieliśmy dwa razy zastosować procedurę całkowania i stąd w rozwiązaniu

( 7 ) pojawiły się dwie dowolne stałe. Należy więc założyć, iż w przypadku równania $ n $-go rzędu

znalezienie rozwiązania będzie wymagać $ n $-krotnego całkowania, a to z kolei wyprodukuje nam $ n $ dowolnych stałych. Domniemanie to jest jak najbardziej słuszne: prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1:

Rozwiązanie ogólne skalarnego równania różniczkowego zwyczajnego rzędu $ n $ zależy

od $ n $ dowolnych stałych (tzw. stałych całkowania). Stałych całkowania jest dokładnie tyle, ile wynosi rząd równania.

Wróćmy teraz do rozwiązania ( 7 ), równania ( 6 ) i zadajmy sobie pytanie odnośnie jego praktycznego

wykorzystania w celu przewidywania położenia punktu materialnego w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Otóż, żeby wyeliminować nieoznaczoności tkwiące w tym

równaniu w postaci dowolności stałych całkowania, musimy dodatkowo znać zarówno położenie $ x_0 $, w którym znajdował się

punkt materialny w chwili początkowej $ t_0 $, jak i prędkość $ v_0 $, z jaką punkt się

porusza. Daje to układ równań algebraicznych

$ x(t_0)=C_0+C_1\,t_0=x_0, \qquad x'(t_0)=C_1=v_0, $

z którego możemy łatwo określić stałe $ C_0, \,\,C_1 $:

$ C_0=x_0-v_0\,t_0, \qquad C_1=v_0. $

A zatem położenie w czasie $ t $ punktu materialnego spełniającego zadane warunki początkowe

$ x(t_0)=x_0, \qquad x'(t_0)=v_0 $

jest jednoznacznie określone wzorem

$ x(t)=x_0+v_0 (t-t_0). $

Przypisy

1. Teza ta jest poprawna tylko wówczas gdy po różne strony równości stoją funkcje tylko jednego argumentu, innymi słowami, zmienne się nie mieszają
2. Rozwiązanie ( 4 ) mówi nam, iż populacja bakterii rośnie z czasem w sposób wykładniczy. Prowadzi to do

wiadomego paradoksu: w skończonym czasie niewielka populacja bakterii rozrasta się do tego stopnia, iż pokrywa metrową warstwą kulę ziemską. Jest to związane

z założeniem o nieograniczonej bazie pokarmowej oraz braku czynników powodujących kurczenie się populacji. Oba te założenia nie są prawdziwe, niemniej jednak

równanie ( 2 ) jest użyteczne, gdyż opisuje poprawnie początkowe stadium rozwoju populacji, w którym 'walka' o pokarm oraz inne

czynniki powodujące spowolnienie wzrostu nie są jeszcze istotne. Bardziej realistycznym modelem uwzględniającym powyższe czynniki naturalnego spowolnienia

jest równanie postaci

(8)

$ \frac{d{}P(t)}{d\,t}=k\,\,P(t)\,\left(1- \frac{{}P(t)}{{}C_1}\right)=0, $

zwane równaniem logistycznym.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Przykłady równań różniczkowych wykorzystywanych w naukach przyrodniczych

Przykład 1:

Przykład 2:

Twierdzenie 1:

Przypisy